Cours sur les premières équations – 5ème (Collège)
Définition :
Définition : Une équation est une égalité constituée de 2 membres séparés par le symbole = et comportant une inconnue, notée avec une lettre.
Exemples :
3x+2=4 est une équation d’inconnue x.
→ Elle pose la question « pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression 3x+2 est-elle égale à 4 ? ».
2x+5=3x-1 est une équation.
→ Elle pose la question « pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression 2x-5 est-elle égale à l’expression 3x+1 ? ».
Être solution :
Un nombre est solution de l’équation si en remplaçant x par ce nombre l’égalité est vraie.
On peut donc tester si un nombre est solution en testant l’égalité pour cette valeur.
Exemples :
4 est-il solution de l’équation 2x+5=3x-1 ?
→ Testons l’égalité 2x+5=3x-1 pour x=4 :
1er membre : 2×4+5=8+5=13
2nd membre : 3×4-1=12-1=11
6 est-il solution de l’équation 2x+5=3x-1 ?
→ Testons l’égalité 2x+5=3x-1 pour x=6 :
1er membre : 2×6+5=12+5=17
2nd membre : 3×6-1=18-1=17
Résolution :
Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de x qui sont solutions (obtenir « x= … » ).
Remarque : Il existe des équations qui n’ont aucune solution, d’autres qui en ont plusieurs ; les équations étudiées en 5ème ont une seule solution.
Méthode : résoudre une équation simple, c’est résoudre une opération à trou.
Exemples :
x+5=12 pose la question « pour quelle valeur de x l’expression x+5 est-elle égale à 12 ?
?+ 5=12 « quelque chose + 5 égale 12… »
→ on devine que la valeur recherchée est 7 (7+5=12). 7 est la solution de l’équation x+5=12
3x=12 pose la question « pour quelle valeur de x l’expression 3x est-elle égale à 12 ?
3× ?=12 « 3 fois quelque chose égale 12… »
→ on devine que la valeur recherchée est 4 (3×4=12). 4 est la solution de l’équation 3x=12
Propriété : Pour résoudre une équation, on peut :
ajouter ou soustraire un même terme aux deux membres d’une équation ;
multiplier ou diviser par un même nombre les deux membres d’une équation.
Exemples :
x+5=12
x+5-5=12-5
x=7
x-3=9
x-3+3=9+3
x=12 3×x=12
3x÷3=12÷3
x=4 x/5=1,2
x/5×5=1,2×5
x=6
Problème et équation :
On peut résoudre un problème en utilisant une équation : avec une lettre comme inconnue, on traduit le problème sous la forme d’une équation, qu’on résout.
Exemple : on considère ce rectangle, dont la longueur est le double de la largeur, et le périmètre est 15 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?
p=2x+x+2x+x=6x On a donc l’équation 6x=15
6x÷6=15÷6
x=2,5
Le rectangle a une largeur de 2,5 cm et une longueur de 5 cm (p=2,5+5+2,5+5=15 ✔)
