Comment trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre entier ? – CRPE

Question sur le CRPE: « Comment trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre entier ? » 

Mathématiques Théorie – Numération – Les nombres – Définition

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Il existe plusieurs méthodes pour connaitre l’ensemble des diviseurs d’un nombre commun. La méthode la plus utilisée est celle-ci :

Exemple : Trouver les diviseurs du nombre 60

Décomposer le nombre 60 en facteurs premiers (On dit aussi qu’on factorise)

Un nombre ou facteur premier est un nombre qui ne peut être divisé par autre chose que par 1 et par lui-même.

Liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67…

Pour décomposer 60 en facteurs premiers, il faut tester tous les nombres premiers les uns après les autres, dans l’ordre croissant de la liste ci-dessus.

60 2 Je peux diviser 60 par 2 ; il me reste 30.
30 2 Je peux diviser 30 par 2 ; il me reste 15.
15 3 Je ne peux pas diviser 15 par 2, mais par 3 ; il me reste 5.
5 5 Je ne peux pas diviser 5 par 2, ni par 3 mais par 5 ; il me reste 1.
1

Ainsi 60 = 2x2x3x5 soit 60 = 22 x 3 x 5

A ce stade, je peux déjà déterminer le nombre total de diviseurs de 60 en calculant le produit des exposants de chacun de ses facteurs premiers, chacun augmenté de 1.

Soit (2+1) x (1+1) X (1+1) = 12    -> 60 a donc 12 diviseurs.

Réaliser un arbre de dénombrement

Pour lister tous les diviseurs du nombre 60, on peut faire un arbre. Les diviseurs de 60 seront tous sous la forme de 2m x 3n X 5p avec m {0 ; 1 ; 2}, n {0 ; 1} et p {0 ; 1}. On dresse donc l’arbre ci-dessous :

Les diviseurs de 60 sont donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60}

 



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