Question sur le CRPE: « Comment trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre entier ? »
Mathématiques Théorie – Numération – Les nombres – Définition
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REPONSE :
Il existe plusieurs méthodes pour connaitre l’ensemble des diviseurs d’un nombre commun. La méthode la plus utilisée est celle-ci :
Exemple : Trouver les diviseurs du nombre 60
❶ Décomposer le nombre 60 en facteurs premiers (On dit aussi qu’on factorise)
Un nombre ou facteur premier est un nombre qui ne peut être divisé par autre chose que par 1 et par lui-même.
Liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67…
Pour décomposer 60 en facteurs premiers, il faut tester tous les nombres premiers les uns après les autres, dans l’ordre croissant de la liste ci-dessus.
| 60 | 2 | Je peux diviser 60 par 2 ; il me reste 30. |
| 30 | 2 | Je peux diviser 30 par 2 ; il me reste 15. |
| 15 | 3 | Je ne peux pas diviser 15 par 2, mais par 3 ; il me reste 5. |
| 5 | 5 | Je ne peux pas diviser 5 par 2, ni par 3 mais par 5 ; il me reste 1. |
| 1 |
A ce stade, je peux déjà déterminer le nombre total de diviseurs de 60 en calculant le produit des exposants de chacun de ses facteurs premiers, chacun augmenté de 1.
Soit (2+1) x (1+1) X (1+1) = 12 -> 60 a donc 12 diviseurs.
❷ Réaliser un arbre de dénombrement
Pour lister tous les diviseurs du nombre 60, on peut faire un arbre. Les diviseurs de 60 seront tous sous la forme de 2m x 3n X 5p avec m {0 ; 1 ; 2}, n {0 ; 1} et p {0 ; 1}. On dresse donc l’arbre ci-dessous :
Les diviseurs de 60 sont donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60}
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