Cours sur Carré et cube d’un nombre (Puissances) – 5ème (Collège)
Carré d’un nombre :
Définition : Le carré d’un nombre a est le produit de a par lui-même.
On note a² (on lit « a au carré ») ; on a : a²=a×a.
Exemples : 0^2=0 ; 1^2=1 ; 2^2=4 ; 3^2=9 ; 4^2=16 ; 5^2=25 ; 6^2=36
7^2=49 ; 8^2=64 ; 9^2=81 ; 〖10〗^2=100 ; 〖11〗^2=121 ; 〖12〗^2=144
Remarque : l’aire d’un carré de côté c est donnée par la formule A=c×c, que l’on peut simplifier : A=c² ; et l’unité d’aire est le cm² (des cm multipliés par des cm).
Cube d’un nombre :
Définition : Le cube d’un nombre a est le produit de trois facteurs égaux à a.
On note a^3 (on lit « a au cube ») ; on a : a^3=a×a×a.
Exemples : 2^3=2×2×2=8 à ne pas confondre avec 2×3=6
5^3=5×5×5=125 ; 10^3=10×10×10=1 000
Remarque : le volume d’un cube d’arête c est donné par la formule V=c×c×c, que l’on peut simplifier : V=c^3 ; et l’unité de volume est le 〖cm〗^3.
Puissances et priorités :
Dans une expression comportant plusieurs opérations, on effectue :
en 1er, les calculs entre parenthèses (les plus intérieures en premier) ;
puis les puissances : carrés et cubes ;
❸ puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
❹ en enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Exemples :
On souhaite calculer l’expression A=7+2×5^2.
A=7+2×5^2 Sans parenthèses, je commence par la puissance.
A=7+2×25 Je calcule la multiplication.
A=7+50 J’effectue l’addition.
A=57
On souhaite calculer l’expression B=10×〖(11-8)〗^3:2
B=10×〖(11-8)〗^3 ∶2 Je commence par le calcul entre parenthèses.
B=10×3^3 ∶2 Je calcule la puissance.
B=10×27∶2 J’effectue la multiplication (plus à gauche).
B=270∶2 Je termine par la division.
B=135
Puissances et calcul littéral :
Les carrés et les cubes peuvent apparaître en calcul littéral : x×x=x^2 ; x×x×x=x^3.
Pour calculer la valeur d’une expression littérale contenant une puissance, on applique les priorités.
Exemples :
C=2x²-7x+1 pour x=4
C=2×4^2-7×4+1
C=2×16-7×4+1
C=32-28+1
C=4+1
C=5 D=〖(2x)〗^3-8x^2 pour x=5
D=〖(2×5)〗^3-8×5^2
D=10^3-8×5^2
D=1 000-8×25
D=1 000-200
D=800
