Cours pour la 4ème sur le cosinus d’un angle aigu.
Vocabulaire et définition du cosinus d’un angle aigu.
Vocabulaire : Un triangle ABC rectangle en A possède 2 angles aigus : (ABC) ̂ et (ACB) ̂.
Du point de vue de l’angle (ABC) ̂ :
– le côté [BC] est l’hypoténuse,
– le côté [AB] est le côté adjacent à l’angle (ABC) ̂,
– le côté [AC] est le côté opposé à l’angle (ABC) ̂.
Du point de vue de l’angle (ACB) ̂ :
– le côté [BC] est l’hypoténuse,
– le côté [AC] est le côté adjacent à l’angle (ACB) ̂,
– le côté [AB] est le côté opposé à l’angle (ACB) ̂.
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Autrement dit, dans le triangle ABC rectangle en A :
cos〖((ABC) ̂)〗=(côté adjacent à l^’ angle (ABC) ̂)/hypoténuse=AB/BC
cos〖((ACB) ̂)〗=(côté adjacent à l^’ angle (ACB) ̂)/hypoténuse=AC/BC
Calcul de la longueur d’un côté d’un triangle rectangle grâce au cosinus
Exemple : Calculons AB. Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos〖((ABC) ̂)〗=AB/BC donc cos〖(32)〗=AB/7. On obtient AB=7×cos〖(32〗)≈6 cm
Tu obtiens une valeur approchée au dixième de AB, calculée par le produit en croix et grâce à la fonction cos de la calculatrice.
Calcul de la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle grâce au cosinus
Exemple : Calculons (ABC) ̂. Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos〖((ABC) ̂)〗=AB/BC donc cos〖((ABC) ̂)〗=5/8. On obtient (ABC) ̂=arcos(5/8)≈51°
Tu obtiens une valeur approchée à l’unité de (ABC) ̂, calculée grâce à la fonction arccos (ou cos-1) de la calculatrice.
Propriété du cosinus d’un angle aigu
Propriété : Le cosinus d’un angle aigu est un nombre positif compris entre 0 et 1.
En effet, l’hypoténuse étant le côté le plus grand d’un triangle rectangle, un quotient dont le dénominateur est supérieur au numérateur est toujours inférieur à 1.
