Qu’est-ce que le théorème des milieux ? – CRPE 2022

Question sur le CRPE: « Qu’est-ce que le théorème des milieux ? » 

Mathématiques Théorie – Géométrie plane – Théorèmes – Milieux

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Les 3 théorèmes des milieux permettent de savoir si deux droites sont parallèles dans un triangle quelconque.

Le théorème des milieux 1:

Dans le triangle ABC on retrouve :

I est le milieu du segment [AB]

J est le milieu du segment [AC]

Alors les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

On admet en effet que si une droite passe par les milieux des

2 côtés alors cette droite est parallèle au 3e côté.

 

Ce théorème permet de prouver que 2 droites sont parallèles.

Exemple :

Dans le triangle ABC on retrouve :

I est le milieu du segment [AB].

J est le milieu du segment [AC].

Alors : IJ // BC .

 

Le théorème des milieux 2:

Dans le triangle quelconque IJK on retrouve :
M est le milieu du segment [IJ]
N est le milieu du segment [JK]
O est le milieu du segment [IK]
Alors [MN] = [IO] = [OK] = ([IK])/2
On admet en effet que les distances [MN], [IO] et [OK] sont égales.

Ainsi, de manière générale, dans un triangle quelconque, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés du triangle alors il mesure la moitié du 3e côté.

Ce théorème permet de calculer des longueurs.

 

Exemple :

Soient [IJ] = 8cm, [JK]= 12cm et [IK]= 10cm
Dans le triangle IJK, on retrouve :
M est le milieu du segment [IJ].
N est le milieu du segment [JK].
O est le milieu du segment [IK].
Alors : [MN] = [IO] = [OK] = ([IK])/2 = 10/2 = 5 cm

 

Réciproque du théorème des milieux:
Dans le triangle quelconque ABC on retrouve :
M est le milieu du segment [AB]
La droite passant par M parallèlement à [BC] coupe [AC] en N.

On admet donc que le point N est le milieu de [AC] et on peut
écrire [AN] = [NC] = ([AC])/2

Ainsi, de manière générale, dans un triangle quelconque, si une droite passe par le milieu d’un côté parallèlement à un 2e côté alors, cette droite coupe le 3e côté en son milieu.

Ce théorème permet de prouver qu’un point est le milieu d’un segment donné.

Exemple :

Soit le triangle ABC, on retrouve :
M est le milieu du segment [AB].
La droite qui passe par M est parallèle à [BC]
et coupe [AC] en N.
Alors [AN] = [NC]
et donc N est le milieu de [AC].

 



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