Arithmétique – 3ème – Cours

Arithmétique – 3ème – Cours

Arithmétique : Partie des mathématiques qui étudie la formation des nombres, leurs propriétés et les relations qui existent entre eux.

 

       I.            Notion de PGCD

 

–          Signification : Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur de deux ou plusieurs nombres entiers.

 

–          Définition : Soient a et b deux entiers relatifs ≠ 0.

Alors, l’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément noté pgcd (a ; b).

Exemples :

car 3 est le plus grand diviseur commun de 15 et 9.

car 11 est le plus grand diviseur commun de 22 et 33.

 

–          Propriétés :

 

–          3 méthodes :

 

 

–           

  • Méthode 1 – La méthode de base : Écrire la liste des diviseurs de chaque nombre.

Exemple :

Calculons le pgcd de 120 et 88.
Diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Diviseurs de 9 : 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.
Donc PGCD (120 ; 88) = 8.

 

  • Méthode 2 – Pour aller plus loin : Utiliser l’algorithme d’Euclide.

Rappel sur l’algorithme d’Euclide : Soit le pgcd (a ; b) = c. Nous cherchons alors à calculer c par l’algorithme d’Euclide.
Remarques : – soient r1…n les restes des multiplications et 1…n+1 des facteurs quelconques ; alors r <
– l’algorithme s’arrête dès qu’un reste est égal 0
– le pgcd est alors égal au dernier reste non nul

 

11
122
1233
n-2n-1nn
n-1nn+1

Donc c = rn = PGCD (a ; b)

Exemple :

Calculons le pgcd de 120 et 88.

Donc PGCD (120 ; 88) = 8.

  • Méthode 3 – Pour aller plus loin : Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple :

Calculons le pgcd de 120 et 88.

Donc PGCD (120 ; 88) = 23 = 8.

 

     II.            Fractions irréductibles

 

–          Définition : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.
Une fraction est irréductible si lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

ð  Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.

Exemples :

9 et 22 sont premiers entre eux donc  sont des fractions irréductibles.
sont des fractions irréductibles car 3 et 13 sont premiers entre eux.

 

–          Méthode pour rendre une fraction irréductible : diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemples :

car PGCD (15 ; 35) = 5

car PGCD (120 ; 88) = 8.



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Tables des matières Fractions - Numération - Mathématiques : 3ème