Cours pour la 3ème sur les généralités sur le calcul de longueur – Théorème de Pythagore.
Définition
Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand des côtés. C’est aussi le côté opposé à l’angle droit. Les autres côtés sont appelés côtés de l’angle droit ou côtés adjacents à l’angle droit.
Propriété
Le théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle qu’on sait rectangle en connaissant les deux autres.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Dans un le triangle ABC rectangle en A, nous avons donc une égalité de Pythagore telle que :
BC2 = AB2 + AC2
Rappel sur la racine carrée
Définition : soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a le nombre dont le carré est égal à a. La racine carrée de a se note √a.
Remarque : la racine carrée est l’opération inverse du carré : √(5^2 ) = 5
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est IMPOSSIBLE : √(-5) n’existe pas !
Calcul d’une longueur
① Cas où l’inconnue est l’hypoténuse : soit ABC un triangle rectangle en A avec AB = 18 cm et AC = 24 cm. Calcule [BC]. Donne la valeur exacte.
Si le triangle ABC est rectangle en A et que son hypoténuse est BC.
Alors nous pouvons utiliser l’égalité de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2
Donc BC2 = 182 + 242
= 324 + 576
= 900
D’où BC = √(900 ) = 30 cm
② Cas où l’inconnu est un côté de l’angle droit : soit BCD est un triangle rectangle en D tel que CB = 6 cm et BD = 3 cm. Calcule [CD]. Donne la valeur exacte puis arrondie au dixième de cm.
Si Le triangle BCD est rectangle en D et son hypoténuse est le côté BC.
Alors nous pouvons utiliser l’égalité de Pythagore : CB2 = DB2 + CD2
Donc 62 = 32 + CD2
36 = 9 + CD2
D’où CD2 = 36 – 9
CD = √27 cm (valeur exacte)
D’où CD ≈ 5,2 cm (valeur approchée)
