Puissances de matrices – Terminale S – Cours

Cours sur les puissances de matrices – Terminale S

Puissances de matrices

Définition et propriétés:

Soit A une matrice de taille n. On définit, par récurrence, pour tout entier p, la matrice  par  et, pour tout entier p,

Pour toute matrice carrée A,

Pour tout entiers p et q, on a :

Exemple d’application:

Soit A une matrice égale à. Calculer  pour tout entier

On calcule les premières puissances de la matrice A, ce qui conduit à conjecturer une formule pour la matrice.

On démontre la formule conjecturée par récurrence.

On calcule :

On calcule de même  :

Ce que l’on peut obtenir plus simplement en observant que :

On a :  et on conjecture naturellement, pour tout, que :

On considère l’hypothèse de récurrence suivante :

Pour tout

Initialisation : Pour, la propriété est vraie car

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier  donné

(C’est-à-dire).

On a

Soit

Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel  et la conjecture est ainsi démontrée.

 



 Puissances de matrices – Terminale S – Cours   rtf

 Puissances de matrices – Terminale S – Cours   pdf

Tables des matières Puissance de matrices - Matrices - Mathématiques : Terminale S – TS