Nombres relatifs – 5ème – Cours

Nombres relatifs – 5ème – Cours

Notation de nombre relatif
Les nombres relatifs sont constitués des nombres positifs et des nombres négatifs.
Les nombres négatifs sont toujours notés avec un signe (-), ils sont plus petits que zéro.
Les nombres positifs sont toujours notés avec un signe (+), ils sont plus grands que zéro.
Le nombre zéro est à la fois positif et négatif.

Repérage

  • Repérage sur une droite graduée :
    • Abscisse d’un point :
      Définition : Pour repérer les points d’une droite, on choisit : – une origine
      – un sens
      – une unité de longueur
      Définition : Chaque point d’une droite graduée est repéré par un nombre relatif                   appelé abscisse de ce point.

                                   Ex : L’abscisse du point B est -5. L’abscisse du point C est -3,5. L’abscisse du                                      point A est -3.

  • Distance à zéro et nombres opposés :
    Sur la droite précédente, le point A a pour abscisse -3, et est à 3 unité de l’origine : OA = 3.  On dit que la distance à zéro du nombre relatif -3 est 3.

    Définition : Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même distance à               zéro et de signes différents.

Ex : (-3) et (+3) sont opposés.

 

  • Repérage dans un plan :
    Définition : un repère du plan est formé de deux droites graduées d’origine O. En général, les deux droites sont perpendiculaires, on parle alors de repère orthogonal.

    Définition : Dans un repère du plan, un point est repéré par deux nombres, appelés les coordonnées de ce point. Le premier nombre cité est l’abscisse du point, le second est l’ordonnée du point.

Ex : Le point B a pour coordonnées (-3; 5). Ainsi (-3) est l’abscisse de B et (5)                                     est son ordonnée. De même A a pour abscisse 2 et a pour ordonnée 3, on                                  note A (2; 3).

Comparaison des nombres relatifs
Règle de comparaison :
– Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
-De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
– De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Ex : Ranger dans l’ordre croissant : -3; 4 ; 4,1; -3,4 ; 4,05; 2; -8,4
1) On trie les nombres positifs et les nombres négatifs :
-8,4 ; -3; -3,4                          et        4,1; 2; 4,05
2) On trie les positifs entre eux  et les négatifs entre eux.
-8,4 < -3,4 < -3 < 2 < 4,05 < 4,1

Addition de nombres relatifs

Règle de calculs :

  • Pour effectuer la somme de deux nombres relatifs de même signe :
    – On garde le signe commun au deux nombres relatifs,
    – On additionne les deux distances à zéro de ces nombres.
  • Pour effectuer la somme de deux nombres relatifs de signes différents :
    – On prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,
    – On soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande.

Ex : (+2,5) + ( +8,4) = + 10,9
(-3,5) + (-6) = -9,5
(-14) + (+38) = +24
(+31) + (-90) = -59

 

Soustraction de nombres relatifs
Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.

Ex : A = (-4) – (-5) = (-4) + (+5) = +1
B = (+10) – (+7) = (+10) + (-7) = +3

Suites d’additions et soustractions : écriture simplifiée

  • Les nombres :
    Un nombre positif peut s’écrire sans signe « + » et sans parenthèses.
    Un nombre négatif peut s’écrire sans parenthèses.

Ex : (+3) ; (+14,5) peuvent s’écrire 3 et 14,5.
(-3) ; (-14,5) peuvent s’écrire -3 et -14,5.
(+7) +(+3) = 7 +3
(-7)+(+3) = -7 + 3
(+7) + (-3) = 7 +(-3) = 7 – 3 Mais on ne peut pas écrire 7 + – 3 !!!

  • Règle de suppression des parenthèses :
    • Pour supprimer une parenthèse précédée du signe +, on supprime cette parenthèse et ce signe +, et on réécrit TOUS les nombres qui se trouvaient à l’intérieur des parenthèses, sans rien changer.

Ex : (+7) + [(-3)+(+4)] = 7 + [-3+4] = 7 – 3 + 4

  • Pour supprimer une parenthèse précédée du signe « -« , on supprime cette parenthèse et le signe « -« , et on écrit l’opposé de chaque nombre qui se trouvaient à l’intérieur de cette parenthèse.

Ex : (+7) – [(-3)+(+4)] = 7 – [-3+4] = 7 + 3 – 4

 

Distance entre deux points
Propriété : Pour calculer la distance entre deux points d’une droite graduée, on calcule la différence        entre la plus grande abscisse et la plus petite.

Ex : AB = 2 -(-3) = 2 + 3 = 5
BC = -3 -(-5) = -3 + 5 = 2

Remarque : Une distance est toujours positive.

 



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