Cours pour la 4ème sur les multiples et diviseurs d’un nombre.
Rappel sur la division euclidienne
Rappel de la division euclidienne de a par b : a et b sont des nombres entiers positifs, avec b≠0. Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux nombres entiers positifs q et r tels que a=b×q+r avec r<b.
Exemple : la division euclidienne de 14 par 3 est : 14 = 3 × 4 + 2 avec 2 < 3.
Ce qui signifie qu’avec 14 unités, on peut faire 4 paquets de 3 et qu’il nous reste 2 unités.
Diviseurs et multiples d’un nombre
Définition : Si r=0, on obtient a=b×q. On dit que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b mais aussi que a est divisible par b ou que b divise a.
6=3×2 donc : ● 3 est un diviseur de 6.
● 6 est un multiple de 3.
● 3 divise 6.
● 6 est divisible par 3.
Exemples :
Étude des critères de la divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10.
Si un nombre a se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, alors a est divisible par 2.
Si la somme des chiffres du nombre a est divisible par 3, alors a est divisible par 3.
Si le nombre formé par les deux derniers chiffres d’un nombre a est divisible par 4, alors a est divisible par 4.
Si un nombre a se termine par 0 ou 5, alors a est divisible par 5.
Si un nombre a est divisible par 2 et par 3, alors a est divisible par 6.
Si la somme des chiffres du nombre a est divisible par 9, alors a est divisible par 9.
Si un nombre a se termine par 0, alors a est divisible par 10.
Résoudre des problèmes relevant de la divisibilité
Dans les problèmes relevant de la distributivité, on te demandera souvent de trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres :
Exemple : Thierry a pêché 60 poissons et 84 coquillages. Combien de paniers identiques au maximum pourra-t-il concevoir sans qu’il ne lui reste plus aucun produit ?
La méthode consiste à lister les diviseurs des nombres 60 et 84 :
1. Diviseurs du nombre 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
2. Diviseurs du nombre 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.
Les diviseurs communs sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Puis on détermine que 12 est le plus grand diviseur commun des nombres 60 et 84. Il pourra donc concevoir 12 paniers identiques au maximum sans qu’il n’ait plus aucun produit.
On peut ensuite déterminer combien de poissons et de coquillages composeront chaque panier :
60 poissons ÷ 12 paniers = 5 poissons par panier
84 coquillages ÷ 12 paniers = 7 coquillages par panier
En 3ème, tu étudieras les autres façons de calculer le plus grand diviseur commun (ou PGCD) de deux nombres.
