Cours sur les puissances de matrices – Terminale
Puissances de matrices
Définition et propriétés:
Soit A une matrice de taille n. On définit, par récurrence, pour tout entier p, la matrice par et, pour tout entier p,
Pour toute matrice carrée A,
Pour tout entiers p et q, on a :
Exemple d’application:
Soit A une matrice égale à. Calculer pour tout entier
On calcule les premières puissances de la matrice A, ce qui conduit à conjecturer une formule pour la matrice.
On démontre la formule conjecturée par récurrence.
On calcule :
On calcule de même :
Ce que l’on peut obtenir plus simplement en observant que :
On a : et on conjecture naturellement, pour tout, que :
On considère l’hypothèse de récurrence suivante :
Pour tout
Initialisation : Pour, la propriété est vraie car
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier donné
(C’est-à-dire).
On a
Soit
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel et la conjecture est ainsi démontrée.
