Cours pour la 3ème sur développer à l’aide d’une identité remarquable.
On appelle identité remarquable une égalité mathématique qu’il est intéressant de reconnaître pour accélérer ou simplifier un calcul.
Soient a et b deux nombres quelconques, on a :
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Preuve : on peut appliquer la double distributivité :
(a+b)(a-b)=a×a+a×(-b)+b×a+b×(-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2
Remarque : l’ordre des parenthèses n’a pas d’importance : (a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)
Méthode : pour développer à l’aide de cette identité remarquable :
① on repère l’identité remarquable ;
② on identifie a et b ;
③ on applique l’identité, sous sa forme développée.
Exemples :
A=(x-4)(x+4)
A=x^2-4^2
A=x^2-16 → on repère (a-b)(a+b) avec a=x et b=4
→ on remplace a par x et b par 4 dans a^2-b^2
→ on calcule et simplifie l’expression.
Preuve avec la double distributivité :
A=(x-4)(x+4)
A=x×x+x×4+(-4)×x+(-4)×4)
A=x^2+4x-4x-16
A=x^2-16
B=(5x+3)(5x-3)
B=(5x)^2-3^2
B=25x^2-9 → on repère (a+b)(a-b) avec a=5x et b=3
→ on remplace a par x et b par 3 dans a^2-b^2
→ on calcule et simplifie l’expression.
Attention : le carré de 5x est (5x)^2=5x×5x=25x^2
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