Petite division avec les éprouvettes – Algèbre – Montessori – Atelier 2

Atelier Montessori #2 – Algèbre – La petite division avec les éprouvettes

Âge : 6 ans et +

Objectif direct :

  • Travailler la division avec des grands nombres

Matériel :

7 porte-éprouvettes : 3 blancs pour 1, 10 et 100 ; 3 gris pour 1 000, 10 000 et 100 000 et enfin 1 noir pour 1 000 000.

  • 10 mini-éprouvettes sur chaque support contenant chacune 10 perles aux couleurs vertes, bleues et rouges habituelles. Attention : la taille des perles doit être telle que 10 perles remplissent juste l’éprouvette.
  • 7 petits récipients de la largeur des porte-éprouvettes et, en ce qui concerne la couleur :

– 3 blancs à l’extérieur dont l’un avec l’intérieur vert, le 2e bleu et le 3e rouge,

– 3 gris à l’extérieur dont l’un avec l’intérieur vert, le 2e bleu et le 3e rouge,

– 1 noir à l’extérieur et vert à l’intérieur.

  • 3 tables perforées (verte, bleue, rouge). Les quilles et les perles qui vont avec.
  • Un stylo bille 4 couleurs.

Vidéo explicative :

©Ecole Vivante

Langage : quotient, dividende, diviseur, reste.

Présentation :

Etape 1

Il s’agit de faire la division distributive avec opération horizontale.

Pour la 1ère présentation, nous vous conseillons de commencer par une division assez simple (ex : 7491 : 3 =).

  • Partagez devant l’enfant et inscrivez le quotient au fur et à mesure sur une feuille, pour qu’il s’habitue à distribuer et à lire le résultat sur la table perforée (il compte ce que reçoit une quille).
  • Ecrivez l’opération horizontalement en couleurs hiérarchiques : 7491 : 3 =

L’enfant la lit.

  • Formez le dividende dans les bols à partir des porte-éprouvettes appropriés (7 perles vertes du porte-éprouvettes des 1000, 4 perles rouges de celui des 100, 9 perles bleues de celui des 10 et 1 perle verte de celui des unités) et conservez les porte-éprouvettes devant vous au-delà de la table perforée.

Comme il n’y a qu’1 chiffre au diviseur, seule la table verte est utilisée.

  • Posez 3 quilles vertes pour représenter le diviseur.
  • Descendez le bol des 1000 en-dessous de la table perforée.
  • Distribuez les 7 perles équitablement de gauche à droite.

A la fin du partage, lisez avec l’enfant le résultat (ce que reçoit une quille).

Ecrivez le résultat intermédiaire : 7491 : 3 = 2

  • Retirez toutes les perles “usées” (déjà partagées) de la table perforée et remettez-les dans l’éprouvette.
  • Pour continuer à partager, changez la dernière perle de 1000 en 10 perles rouges de 100 (c’est facile et rapide car il suffit de vider une éprouvette pleine dans le petit bol).
  • Retournez le bol des 1000 et descendez celui des 100.
  • Distribuez à chaque quille, de gauche à droite, les 14 perles rouges et complétez le résultat avec le 4 des centaines : 7491 : 3 = 24
  • Rangez de nouveau toutes les perles “usées” de la table.
  • Faites remarquer à l’enfant qu’il reste 2 perles rouges qu’on ne peut pas partager.
  • Faites le change des 2 perles rouges contre 20 perles bleues des dizaines.
  • Distribuez, lisez et complétez le résultat avec le 9 des dizaines : 7491 : 3 = 249
  • Rangez les perles “usées” de la table.
  • Il reste 2 perles bleues que vous échangez méthodiquement, une par une, contre une éprouvette complète de 10 perles vertes d’unités chacune.
  • Distribuez les 21 perles vertes aux 3 quilles.
  • Lisez et complétez le résultat avec le 7 des unités.
  • Vous obtenez le résultat final de la division : 7491 : 3 = 2497

Nous conseillons vivement à l’enfant de faire une dizaine d’opérations de ce type, une par jour, avec de grands dividendes, jusqu’aux millions, c’est gratifiant pour lui.

Le diviseur reste à 1 seul chiffre pour le moment.

N’oubliez pas d’écrire le reste quand il y en a.

  • Puis passez à l’étape 2 lorsque l’enfant est à l’aise avec la manipulation des perles et des éprouvettes, et avec l’écriture du résultat.

Etape 2

Ce qui change, c’est le fait que vous allez maintenant poser l’opération verticalement et donc faire un pas de plus dans la technique opératoire.

  • Choisissez une opération où il n’y aura pas de 0 au quotient (ex : 21261 : 6 =).
  • Ecrivez le dividende et laissez l’enfant le former dans les petits bols avec les perles des éprouvettes.
  • Aidez-le à analyser : “Combien de dizaines de mille ? Combien de 1000, etc.”

Puis écrivez le diviseur. L’enfant pose les quilles qui conviennent sur la table perforée verte. Montrez-lui alors que l’on peut aussi poser une division ainsi :

  • Ecartez bien les chiffres du dividende pour que les colonnes ne se télescopent pas au cours de l’opération et respectez bien les couleurs hiérarchiques.
  • Puis entamez un petit dialogue avec lui en pointant le premier 2 du dividende : “Penses-tu que l’on peut distribuer 2 dizaines de 1000 en 6 ?

– Non.

– Alors on change.” Laissez l’enfant faire le change avec les éprouvettes et montrez qu’on a maintenant 21 milliers à distribuer en 6.

  • Dites : “Regarde, le 2 devient vert de rage !” et vous repassez le 2 en vert. L’enfant distribue les perles. Il obtient le résultat 3 et un reste de 3.
  • Montrez-lui où inscrire le résultat et le reste.
  • Rangez les perles distribuées dans les éprouvettes. Demandez à l’enfant s’il est possible de distribuer les 3 perles de 1000 qui restent.
  • Non ?
  • Alors on change une perle verte des mille contre 10 perles rouges de 100.
  • L’enfant fait le change des 3 perles de 1000 avec les éprouvettes. Il en a maintenant 32.
  • Dites-lui : “Le 3 devient rouge de colère !” Jouez sur ces transformations : l’enfant adorera cela et rira de bon cœur. C’est pour lui à la fois un point d’intérêt et un moyen mnémotechnique.
  • Passez le 3 en rouge sur l’opération.
  • Montrez-lui sur l’opération que le 2 rouge descend à côté du 3.
  • L’enfant distribue les perles et vous donne le résultat 5 et le reste 2.
  • Ainsi de suite jusqu’à la fin.
  • Bien entendu, vous ne vous occupez pas de la décimale pour le moment : il reste 3 et vous faites constater à l’enfant simplement qu’on ne peut pas diviser 3 unités en 6. L’enfant va s’habituer petit à petit à noter le quotient au fur et à mesure et les détails de l’opération. Il est important qu’il note les 0 s’il ne reste rien lors d’une opération intermédiaire ou s’il y a un 0 au quotient, comme sur cet exemple :

Etape 3

Avec les étapes 1 et 2, l’enfant a bien vu la division distributive « J’ai 12 bottes de foin à partager pour 2 chevaux. Combien cela fait-il de bottes pour chacun ? ».

Il s’agit maintenant d’aborder la division de contenance « J’ai 48 euros et je veux acheter des livres à 8 euros.

Combien vais-je pouvoir acheter de livres ? » Ou combien de fois y a-t-il 8 euros dans 48 euros ?

  • Pour faire comprendre ce nouveau concept à l’enfant, prenez 30 perles dorées.
  • Avec ces 30 perles, combien puis-je faire de groupes de 6 ?
  • L’enfant fait 5 groupes.
  • Donc dans 30, il y a combien de fois 6 ?

C’est la dernière étape pour le passage à l’abstraction.

  • Ecrivez une division en ligne (ex : 6147 : 4 =). L’enfant forme le dividende et place le diviseur sur la table perforée verte. Vous posez l’opération verticalement et demandez combien de groupes de 4 sont contenus dans 6 ?
  • L’enfant fait la distribution et répond “1”.
  • En même temps que vous écrivez 1 au résultat, vous dites “1 fois 4 = 4”.
  • Ecrivez – 4 sous le 6 du dividende, en précisant que c’est ce que vous venez de partager, et vous faites la soustraction en disant “6 – 4 = 2”.
  • Notez le 2 en vert.
  • Vérifiez le reste dans le petit bol avec l’enfant : c’est bien 2.
  • Vous pouvez ajouter “de mille”.
  • Rangez les perles de la table et vous faites le change en n’oubliant jamais de formuler :
  • Je change 1 perle de 1000 en 10 perles de 100 etc…
  • Le 2 rougit de colère. Vous le repassez en rouge et vous descendez le 1 à côté de lui etc… jusqu’à la fin.
  • Vous obtenez le résultat ci-contre.
  • L’écriture des étapes intermédiaires est importante car elle met en valeur la multiplication dans la division. En effet quand on partage des quantités, le nombre de groupes trouvés correspond à nos tables de multiplications.

Lorsque l’enfant est parfaitement à l’aise, montrez-lui qu’on peut même se passer de noter les soustractions.

  • Dites-lui « si nous gardons l’exemple précédent, dans 6, combien de fois il y a 4 ?

Réponse : 1

  • Vous écrivez 1 en vert au quotient.

Puis, 1 fois 4 = 4 ; 6 – 4 = 2.

  • Vous écrivez 2 en vert sous le 6.

Dans 2 combien de fois 4 ?

Réponse : Aucune, donc on change.

  • Vous mettez le 2 en rouge (il devient 20 centaines) etc…
  • Conservez les couleurs des catégories encore longtemps : elles constituent un excellent contrôle de l’erreur. En effet, si l’alternance ou la position des couleurs ne sont pas bonnes dans le quotient final, c’est soit que l’enfant a omis de noter un 0, soit qu’il a oublié une opération intermédiaire. Les couleurs permettent à l’enfant de réfléchir à la valeur du chiffre écrit. Cette phase semble un peu compliquée sur le papier, mais il faut tenir compte du fait qu’à ce stade, l’enfant maîtrise la multiplication et la soustraction, y compris de tête puisqu’il est également bien avancé dans leur mémorisation.

 



Atelier descriptif pour les parents

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Exercices

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Tutoriel – liste des matériaux

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