Initiation au calcul littéral et aux équations – 5ème – Cours

Calcul littéral – Equations – Initiation – 5ème – Cours

Simplification d’un calcul littéral : conventions d’écriture

  • Des nombres et des lettres:
    Définition : une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres, ces lettres désignent des nombres.

Ex : Le périmètre P d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par la                                        formule :              P = 2 x (L + l)

 

  • Simplification de l’écriture d’une expression littérale:
    Convention : On peut supprimer le signe « x » lorsqu’il est suivit d’une lettre ou d’une parenthèse.

Ex : Soient a, b et y désignant des nombres.

5 x a = 5a
3 x (2 x y + 1) = 3(2y +1)
y x 4 = 4 x y = 4y

Distributivité

  • Développer
    Définition : Développer, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence).

Propriété : Soient k, a et b désignant des nombres.
k(a + b) = ka + kb                   et                    k(a – b) = ka – kb

Ex : Développer
A = 6(y +8) = 6y + 2 x 8
B = 3(Y – 7) = 3y -3 x 7

  • Factoriser
    Définition : Factoriser, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit.

Propriété : Soient k, a et b désignant des nombres.
ka + kb =  k(a + b)                  et                    ka – kb = k(a – b)

Ex : Factoriser
A = 6y + 2 x 8 = 6(y +8)
B =3y -3 x 7 = 3(Y – 7)

Tester une égalité
Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vérifiée, lorsqu’on leur attribue une valeur numérique, il faut procéder ainsi :
– D’une part, on évalue l’expression numérique obtenue en remplaçant la lettre par sa valeur             dans le membre de gauche.

– D’autre part, on évalue l’expression numérique obtenue en remplaçant la lettre par sa             valeur dans le membre de droite de l’égalité.

– Puis, il suffit de comparer les deux résultats obtenus dans les deux membres.
Si les deux résultats sont les mêmes, alors l’égalité est vraie, sinon elle est fausse.

Ex : L’égalité 3(x + 5) = X + 12 est-elle vraie ?

Prenons x = 2
Membre de gauche : 3(x + 5) = 3(2 + 5) =3 (7) = 21
Membre de droite : x + 12 = 2 + 12 = 14
Or, 21 n’est pas égale à 12. Donc l’égalité est fausse.

 

Résoudre une équation

  • Vocabulaire :
    Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle intervient une lettre, l’inconnue.
    Une solution d’une équation est une valeur (nombre) de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
    Résoudre une équation c’est déterminer TOUTES les solutions de cette équation.

 

  • Pour résoudre une équation à une inconnue:
    On isole l’inconnue d’un même côté de l’égalité, dans un membre.
    Pour cela on utilise trois théorèmes :
    – Théorème 1 : On a le droit de calculer, effectuer les calculs dans chaque membre.

– Théorème 2 : On a le droit d’ajouter ( ou de retrancher) un MÊME nombre à                          CHAQUE membre de l’égalité.

– Théorème 3 : On a le droit de multiplier ou de diviser CHAQUE membre par un                      MÊME nombre non nul.

 

                       Ex : Résous l’équation en utilisant qu’un théorème par ligne
3x + 5 = x + 9

 

Th2 : 3x + 5 – 5 = x + 9 – 5
Th1 : 3x = x + 4
Th2 : 3x – x = x + 4 – x
Th1 : 2x = 4
Th3 :

Th1 : x = 2

 



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