Géométrie : 4ème

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Cours et exercice : Géométrie : 4ème

Droite des milieux – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 On suppose que ABC est rectangle en A. 1) Que peut-on dire des droites (IJ) et (AB) ? Des droites (IJ) et (AC) ? 2) Préciser la nature du quadrilatère AJIK.   Exercice 2 Tracer un triangle ABC sachant que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm. 1) Prouver que la droite (BJ) coupe le segment [KI] en son milieu. 2) Calculer les périmètres du triangle IJK et des quadrilatères AKIJ, BKJI…

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Droite des milieux – 4ème – Cours – Géométrie

Droite des milieux   Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. La longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.     Milieu et parallèle Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu. d passe par le milieu de…

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Bissectrices – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie

Exercice 1 Démontrer que RKSI est un losange On sait que : I centre du cercle circonscrit à RST, M milieu de [RS] , K symétrique de I par rapport à M. Exercice 2 Démontrer que A, I et J sont alignés On sait que : L appartient à [AB] et M appartient a [AC] Les bissectrices de ALM et de AML secoupent en I,celles de ABC et ACB se coupent en J.   Exercice 3 1) Construire un angle…

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Bissectrices – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 Construire à l’aide du rapporteur les bissectrices des angles suivants. Exercice 2 1) Tracer un losange IJKL tel que : IJ = 5 cm et IK = 8 cm. (s’aider d’une figure à main levée) 2) Quels sont les axes de symétrie du losange IJKL ? 3) Que peut-on dire des angles JIK et LIK ? 4) Quelle est la bissectrice de l’angle JIL ?   Exercice 3 Construire le losange BIJK Avec K placé sur la bissectrice…

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Cône de Révolution – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 Déterminer le volume d’un cône de révolution de hauteur 25 cm ayant pour base un disque de rayon 9 cm.   Exercice 2   Calculez l’aire du cône de révolution ayant 6 cm de hauteur et 8 cm de génératrice   Exercice 3   Calculer le volume d’un cône de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm Exercice 4 Calcule le volume d’un cône de révolution, de hauteur 1,5 dm et dont le rayon de la base…

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Cône de Révolution – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie

Exercice 1 Un cône de révolution a pour volume 18cm3. Sa hauteur est de 5 cm. Quel est le rayon de son cercle de base ?   Exercice 2   Un cône de révolution a un disque de base de rayon 5 cm et une hauteur de 6 cm.   Exercice 3   Soit un cône de révolution dont le rayon de la base est égal à 5 cm etdont la hauteur est 4,5 cm. 1) Détermine l’aire de la…

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Longueur d’un segment dans l’espace – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 On considère une bougie conique représentée ci-contre (la figure n’est pas aux dimensions réelles). Le rayon AO de sa base est 2,7 cm. La longueur du segment [SA] est 4,5 cm. 1) Sans justifier, donne la nature du triangle SAO et construis le en vraie grandeur. 2) Montre que la longueur SO de la bougie est 3,6 cm. 3) Calcule le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au…

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Longueur d’un segment dans l’espace – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie

Exercice 1   Une pyramide a pour volume 63cm3, pour base un carré de 5cm de côté. Quelle est sa hauteur ?     Exercice 2   La figure ci dessous est un cube ABCDEFGH d’arête 4 cm. 1) Indiquer sans justification la nature du quadrilatère AEGC. 2) Calculer EG. 3) Calculer la longueur de la diagonale [EC].     Exercice 3   On considère une bougie conique représentée ci-contre (la figure n’est pas aux dimensions réelles). Le rayon AO…

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Distance d’un point à une droite – Exercices corrigés – 4ème – Triangle – Géométrie

Exercice 1 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm. 1) Quelle est la distance de B à la droite (AC) ? 2) Quelle est la distance de C à la droite (AB) ? Exercice 2 Sachant qu’un carreau mesure 0,5 cm de large et 0,7 cm de diagonale (environ), compléter le tableau suivant   Distance du point à la droite (d1) (d2) (d3) (d4) (d5)…

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Tangente – Cercle – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1   1) Construire le point C tel que P soit le centre du cercle inscrit au triangle ABC. Justifier. 2) Construire le cercle inscrit au triangle ABC.   Exercice 2 La droite (t) est tangente aux cercles (C) et (C’) de centres I et J, en les points A et B. Démontrer que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles. Exercice 3 Que dire du point O par rapport aux droites (GA) et (GB) ?   Exercice 4…

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Cercle – Tangente – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie

Exercice 1 Quel nom donne-t-on au quadrilatère ABCD si les droites (BD) et (CD) sont tangentes au cercle de centre A? Expliquer le raisonnement. Exercice 2 Dans la figure ci-dessous, quelles sont les droites dont on est certain qu’elles sont tangentes au cercle? Justifier ….. Exercice 3 On donne deux points distincts H et N 1) Tracer un cercle de diamètre HN 2) Tracer la tangente à ce cercle au point H, puis la tangente à ce cercle au point…

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Pyramide – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 Compléter Exercice 2   SABC est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur sa base telle que AB = 4 cm et la hauteur [SH] mesure 3 cm. On a déjà représenté en perspective la base ABC de cette pyramide : 1) Marquer le centre de gravité H du triangle ABC. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Exercice 3 Compléter chaque dessin pour obtenir…

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Pyramide – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie

Exercice 1 Compléter Exercice 2   SABCD est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur sa base telle que AB = 3 cm et la hauteur [SO] mesure 2 cm. On a déjà représenté en perspective la base ABCD de cette pyramide :   1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Exercice 3   Compléter les dessins…

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Cône de Révolution – Cours – 4ème – Géométrie

Définition Un cône de révolution de sommet H est un solide engendré par la rotation d’un triangle HOR rectangle en O autour de la droite (OH). Vocabulaire : Le disque de centre O et de rayon [OR] est la base de ce cône. Le segment [OH] est la hauteur de ce cône, il est perpendiculaire au plan contenant la base. Le segment [RH] est le générateur du cône de révolution. C’est lui qui « forme » le cône par rotation…

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Distance d’un point à une droite – 4ème – Exercices corrigés – Triangle – Géométrie

Exercice 1   ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm, AC = 3 cm et BC = 10 cm. 1) Quelle est la distance de B à la droite (AC) ? 2) Quelle est la distance de C à la droite (AB) ? Exercice 2 Tracer les points situés à 5 cm de d. Que remarque t on? Justifier   Exercice 3 Tracer un segment [AB] de 10 cm. Tracer les points qui sont…

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Distance d’un point à une droite – Cours – 4ème – Triangle – Géométrie

Introduction à la distance d’un point à une droite A, B, C, D et E sont cinq points distincts alignés dans cet ordre sur une droite (d). M est un point n’appartenant pas à la droite (d), tel que (MC) est perpendiculaire à (d). Parmi les distances MA, MB, MC, MD et ME, quelle est la plus courte ? Le triangle MAC est un triangle rectangle en C. [MA] étant l’hypoténuse, on peut affirmer que : MC < MA. De…

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Cercle – Tangente – Cours – 4ème – Géométrie

Cercle – Tangente – 4ème – Cours – Géométrie Tangente à cercle en l’un de ses points Définition : A est un point du cercle (C ) de centre O. La tangente au cercle (C ) en A est la droite dont le seul point de contact avec (C ) est A.   Propriété (pour construire la tangente à un cercle en l’un de ses points) : A est un point du cercle (C ) de centre O. Si (d)…

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Bissectrices – 4ème – Cours – Géométrie

Bissectrice d’un angle La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles égaux. L’angle xAy = L’angle yAz donc (Ay) est la bissectrice de l’angle xAz Remarque : la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie pour cet angle. B et B’ sont symétriques par rapport à la bissectrice (Ay) Propriété : Si un point M appartient à la bissectrice d’un angle, alors M est à égale distance des côtés de cet angle. On…

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Cercle circonscrit – Triangle rectangle – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 O milieu de [IJ] et K est tel que OK= OJ. Montrons que le triangle IJK est rectangle en K. 1) Placer les points O et K. 2) Pourquoi les points I, J et K appartiennent-ils au même cercle ? 3) Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.     Exercice 2 C est un cercle de centre I, [AB] est un diamètre du cercle, C est un point du cercle, J est le milieu…

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Triangle rectangle – Cercle circonscrit – 4ème – Exercices corrigés – Géométrie

Exercice 1 Déterminer la nature du triangle RST, R, S et T points du cercle C de centre O et RT un diamètre du cercle. De plus, On donne ST = 65 mm et RS = 72 mm. 1) Montrer que RT = 97 mm. 2) Faire une figure en vraie grandeur. 3) Construire un point A tel que AR = 53 mm et AT = 81 mm. 4) Le triangle ART est-il rectangle ? Justifier. Exercice 2 Déterminer en…

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Triangle rectangle – Cercle circonscrit – 4ème – Cours – Géométrie

Cercle circonscrit à un triangle rectangle   Propriété 1 Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Propriété 1 bis Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Propriété 2 Si un triangle est rectangle alors l’hypoténuse a pour longueur le double de celle de la médiane issue du sommet de l’angle droit. ABC est un triangle rectangle en A donc: Le centre du…

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Réciproque de Pythagore – Exercices corrigés – 4ème – Triangles rectangles – Géométrie

Réciproque de pythagore – Exercices corrigés – 4ème – Triangles rectangles – Géométrie Exercice 1 Le triangle ABC est-il rectangle?   Exercice 2 Dans le triangle RAS on a : AR = 13,5 m, RS = 8,1 m et AS = 10,8 m. Démontrer que le triangle RAS est rectangle. On précisera en quel point.   Exercice 3 Dans le triangle RST on a : TR = 6,6 cm, RS = 5,3 cm et TS = 4 cm. Démontrer que…

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Réciproque de Pythagore – 4ème – Exercices corrigés – Triangles rectangles – Géométrie

Réciproque de pythagore – 4ème – Exercices corrigés – Triangles rectangles – Géométrie Exercice 1 Le triangle ABC est-il rectangle?   Exercice 2 Pour vérifier que 2 montants d’une porte sont bien perpendiculaires, un ouvrier mesure 60 cm sur un montant et 80 cm sur l’autre. Il mesure la distance entre les 2 traits obtenus et trouve 1 m. Il est satisfait de son travail. A-t-il raison ?     Exercice 3 En Mésopotamie, pendant l’antiquité on utilisait des cordes…

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Réciproque de Pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie

Réciproque de pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie Définition de la réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle on a : BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle est rectangle en A (BC étant l’hypoténuse)   Exemple : Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est un triangle rectangle. On choisit : AC = 3, AB = 4 et BC = 5 BC est le côté le plus long….

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Propriété de Pythagore – Exercices corrigés – 4ème – Triangles rectangles – Géométrie

Propriété de pythagore – Exercices corrigés – 4ème – Triangles rectangles – Géométrie Exercice 1 « Si AB + AC = BC alors le triangle ABC est rectangle en A ». a. « Si AB + AC = AC alors le triangle ….. A est rectangle en ….. ». b. « Si DE + DF = EF alors le triangle D….. Eest rectangle en ….. ». c. « Si IJ + IK = JK alors le triangle I….. Jest rectangle…

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Propriété de Pythagore – 4ème – Exercices corrigés – Triangles rectangles – Géométrie

Propriété de pythagore – 4ème – Exercices corrigés – Triangles rectangles – Géométrie Exercice 1 « Si un triangle ABC est rectangle en A alors AB + AC + BC ». a. « Si un triangle ABC est rectangle en B alors ….. ² » b. « Si un triangle DEF est rectangle en D alors ….. ²² » c. « Si un triangle IJK est rectangle en K alors ….. ²² » d. « Si un triangle RST est…

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Propriété de Pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie

Propriété de pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie Définition Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté. C’est aussi le côté opposé à l’angle droit.   Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. Dans le triangle ABC rectangle en A : BC2 = AB2 + AC2 Exemple   Soit RFA un triangle…

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Deux parallèles coupant deux sécantes – 4ème – Cours – Géométrie

Propriété Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés sont proportionnels.     Application   Dans un triangle ABC, M est un point du côté [AB] distinct de A et de B, N est un point du côté [AC] distinct de A et de C. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC) alors AM/AB = AN/AC = MN/BC   Remarque   Dans l’application précédente, l’égalité des rapports met en…

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Géométrie : 4ème - Cours et exercice

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