Critères de divisibilité – Algèbre – Montessori – Atelier 4

Atelier Montessori #4 – Algèbre – Critères de divisibilité

Âge : 6 ans et +

Objectifs directs :

  • Le but de la découverte des critères de divisibilité est d’arriver plus tard à la décomposition en facteurs premiers et donc à la recherche du plus petit commun multiple (PPCM) et du plus grand commun diviseur (PGCD) de deux ou plusieurs nombres.
  • Ce travail n’intervient que lorsque l’enfant a déjà bien commencé la mémorisation de la multiplication.

Matériel :

C’est celui de la banque des perles dorées que l’on utilise pour l’étude du système décimal et pour la découverte des quatre opérations :

  • 1 boîte contenant 50 perles dorées isolées (unités)
  • 1 boîte contenant 40 barrettes de 10 perles dorées
  • 20 plaques de 100
  • 10 cubes de 1000.
  • Un grand plateau et plusieurs petits plateaux.

Langage : divisible par, reste, pair et impair

Présentation :

La divisibilité par 2

Choisissez et annoncez un grand nombre à l’enfant.

Pour notre exemple, il s’agit de 727.

Demandez à l’enfant de le composer en perles sur le grand plateau.

Il obtient 7 plaques de 100, 2 barrettes de 10 et 7 unités.

Demandez-lui alors de diviser cela en 2. Il utilise 2 petits plateaux et procède comme pour une division habituelle en distribuant les perles en commençant par les centaines.

Demandez-lui s’il y a un reste.

Ecrivez sur une feuille :

Opération 727 : 2       Reste ? Oui

Laissez la distribution en place et annoncez : “Si je retire la perle qui reste, l’opération devient 726 : 2. Es-tu d’accord ? Y a-t-il un reste ? »

Ecrivez alors la réponse de l’enfant sur la feuille, en dessous de l’opération précédente :

Opération :

727 : 2           Reste              oui

726 : 2           Reste               non

Recommencez en enlevant à chaque fois une nouvelle perle et en notant les résultats annoncés par l’enfant :

Opération :

727 : 2           Reste              oui

726 : 2           Reste               non

725 : 2           Reste              oui

724 : 2           Reste               non

723 : 2           Reste              oui

722 : 2           Reste               non

721 : 2           Reste              oui

Soulignez le dernier chiffre des opérations sans reste.

727 : 2           Reste              oui

726 : 2           Reste               non

725 : 2           Reste              oui

724 : 2           Reste               non

723 : 2           Reste              oui

722 : 2           Reste               non

721 : 2           Reste              oui

Demandez à l’enfant s’il remarque quelque chose de particulier. S‘il a déjà vu les chiffres pairs et impairs avec les chiffres rugueux et les jetons (http://www.pass-education.fr/nombres-pairs-et-impairs-comment-les-nombres-pairs-et-impairs-sont-organises/ ), il dira que tous les chiffres soulignés sont pairs.

Sinon, prenez le temps de lui expliquer la différence entre nombre pair et impair, au besoin en utilisant les jetons.

Amenez alors l’enfant à énoncer la règle : “Un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre de ses unités est pair.

On utilise le mot « divisible » uniquement lorsqu’il n’y a pas de reste à la fin de l’opération.

Ecrivez plusieurs grands nombres sur la feuille, dont un ou deux très grands pour l’amuser, et demandez à l’enfant de trouver ceux qui sont divisibles par 2.

Proposez-lui de vérifier avec les perles et les plateaux.

La divisibilité par 4

Si l’enfant a envie de continuer, enchaînez. Sinon, reprenez un autre jour.

Demandez-lui de “fabriquer” 1816 sur le grand plateau avec les perles puis de diviser par 4 (sur 4 petits plateaux).

Il notera l’opération comme pour la divisibilité par 2 et enchaînera.

Demandez-lui d’écrire sur sa feuille les opérations puis de souligner les deux derniers chiffres des nombres dont l’opération n’a pas de reste.

Opération :

1816 : 4         Reste              non

1815 : 4         Reste               oui

1814 : 4         Reste              oui

1813 : 4         Reste               oui

1812 : 4         Reste              non

1811 : 4         Reste               oui

1810 : 4         Reste              oui

Faites-lui remarquer que les nombres soulignés sont eux-mêmes divisibles par 4.

“Un nombre est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.”

La divisibilité par 5

Lors d’une autre séance, abordez de la même façon la divisibilité par 5, en partant, par exemple, de 406 : 5.

Opération :

406 : 5           Reste              oui

405 : 5           Reste               non

404 : 5           Reste              oui

403 : 2           Reste               oui

402 : 5           Reste              oui

401 : 5           Reste               oui

400 : 5           Reste              non

Vous concluez : “Les nombres se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5.”

BONUS : La divisibilité par 25 fonctionne sur le même principe : tous les nombres terminés par 25, 50, 75 ou 00 sont divisibles par 25.

La divisibilité par 3

Comme pour la divisibilité par 2, 4 et 5, prenez plusieurs exemples de résultats qui se suivent comme : 121, 122, 123, 124, 125, 126…

Résultat des opérations :

121    Reste              oui

122    Reste                oui

123    Reste              non

124    Reste                 oui

125    Reste              oui

126    Reste                non

Lorsque l’enfant a fini d’écrire sa liste, demandez-lui s’il trouve un rapport entre les nombres qui n’ont pas de reste quand on les divise par 3.

C’est quasiment impossible à trouver et il va forcément “donner sa langue au chat”.

Donnez-lui alors la solution comme vous présenteriez celle d’un amusant tour de magie :

Opération                                Reste

121                                           Oui

122                                           Oui

123                                           Non   1 + 2 + 3 = 6                «Est-ce que 6 est divisible par 3 ?» OUI

124                                           Oui

125                                           Oui

126                                           Non   1 + 2 + 6 = 9                «Est-ce que 9 est divisible par 3 ?» OUI

Proposez à l’enfant de répéter : “Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.”

Pour l’amuser, faites-lui deviner si 361521 est divisible par 3, puis 78423415…

La divisibilité par 11

Ne demandez pas à l’enfant de trouver la solution. Annoncez-lui que vous allez lui donner l’astuce tout de suite.

3 + 9 = 12

« Lorsque la somme des chiffres de rang impair est différente de la somme des chiffres de rang pair : le nombre n’est pas divisible par 11. »

L’enfant pourra vérifier en faisant la division.

Attention : il s’agit des chiffres de rang impair : le premier, le troisième, etc. qui ne sont pas forcément des nombres impairs eux-mêmes !

Prenez un second exemple :

1342473 : 1 + 4 + 4 + 3 = 12

3 + 2 + 7 = 12

« Lorsque la somme des chiffres de rang impair est égale à celle des chiffres de rang pair : le nombre est divisible par 11. »

Faites faire à l’enfant une série d’essais pour vérifier et mémoriser.

 



Atelier descriptif pour les parents

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Exercices

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