Cours - Mathématiques : 4ème

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Cours Mathématiques : 4ème

Cours Mathématiques : 4ème

Calcul littéral – 4ème – Cours

I) Rappels   1) Définition   Une expression littérale est une expression dans laquelle des nombres (souvent inconnus) ont été remplacés par des lettres. Si une expression contient plusieurs fois la même lettre, alors elle désigne le même nombre.   2) Conventions d’écriture   Afin d’alléger les écritures, on convient des règles suivantes : · Le signe de la multiplication ( x ) disparaît : – entre deux lettres : a x b s’écrit ab ; – entre un nombre…

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Puissances – 4ème – Cours – Collège

I) Introduction aux puissances entières d’un nombre relatif Que signifie 5² ? 3² = 3 x 3 3² est le produit de 2 facteurs égaux à 3. Que signifie (-4)6 ? (-4)6 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) (-4)6 est le produit de 6 facteurs égaux à (-4).   Cas particuliers : a1 = a et a0 = 1 an est une puissance de a et se lit « a exposant n ». II)…

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Priorités opératoires – 4ème – Cours – Nombres relatifs en écriture fractionnaire

EXPRESSIONS COMPORTANT DES ADDITIONS, SOUSTRACTIONS, MULTIPLICATIONS ET DIVISIONS On applique les priorités opératoires des nombres relatifs.   METHODE DE CALCUL . On calcule le contenu des parenthèses   . On effectue les multiplications   . On effectue les additions   RAPPELS   Ne pas oublier d’appliquer les règles des signes des nombres relatifs en écriture décimale.   Toujours simplifier les fractions avant de faire les calculs (et non après).   Ne pas confondre : Addition è Mise au même dénominateur…

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Multiplication – Division – 4ème – Cours – Nombres relatifs en écriture fractionnaire

I) Multiplication   Propriété : pour multiplier deux quotients de nombres relatifs en écriture fractionnaire • on multiplie les numérateurs entre eux • on multiplie les dénominateurs entre eux. a, b (≠ 0), c et d (≠ 0) désignent quatre nombres relatifs :   Exemple :   on s’occupe d’abord du signe du résultat et on simplifie avant d’effectuer les multiplications   Cas particulier : a, b et c (≠ 0) désignent trois nombres relatifs : a x = a…

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Quotients égaux – 4ème – Cours – Nombres relatifs en écriture fractionnaire

I) Quotients égaux :   Propriété : un quotient de deux nombres relatifs ne change pas en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a,b,c,d désignent quatre nombres relatifs avec b≠0 et c≠0, on a :   Exemples :   Propriété : a,b,c,d désignent quatre nombres relatifs avec b≠0 et d≠0 Si = alors ad = bc et réciproquement Si ad = bc alors =   Exemples : > x désigne un…

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Comparaison de nombres relatifs – 4ème – Cours – Ecriture fractionnaire

Comparaison de nombres relatifs – 4ème – Cours – Ecriture fractionnaire I) Entre deux nombres positifs Dans une écriture fractionnaire d’un nombre positif, àsi le numérateur est strictement supérieur au dénominateur, alors le nombre est strictement supérieur à 1. àsi le numérateur est strictement inférieur au dénominateur, alors le nombre est strictement inférieur à 1. Démonstration : Grâce au théorèmes étudiés dans le II., on peut se ramener à un numérateur et un dénominateur positif. On considère deux nombres a…

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Addition – Soustraction – 4ème – Cours – Nombres relatifs en écriture fractionnaire

Avec le même dénominateur   Propriété : pour additionner (ou soustraire) deux quotients de nombres relatifs en écriture fractionnaire avec le même dénominateur : • on garde le même dénominateur • on additionne (ou soustrait) les numérateurs. a, b et c (≠ 0) désignent trois nombres relatifs :   Exemples : II) Avec un dénominateur différent   Propriété : pour additionner (ou soustraire) deux quotients de nombres relatifs en écriture fractionnaire avec des dénominateurs différents : • on réduit d’abord…

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Droite des milieux – 4ème – Cours – Géométrie

Droite des milieux   Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. La longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.     Milieu et parallèle Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu. d passe par le milieu de…

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Cône de Révolution – Cours – 4ème – Géométrie

Définition Un cône de révolution de sommet H est un solide engendré par la rotation d’un triangle HOR rectangle en O autour de la droite (OH). Vocabulaire : Le disque de centre O et de rayon [OR] est la base de ce cône. Le segment [OH] est la hauteur de ce cône, il est perpendiculaire au plan contenant la base. Le segment [RH] est le générateur du cône de révolution. C’est lui qui « forme » le cône par rotation…

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Distance d’un point à une droite – Cours – 4ème – Triangle – Géométrie

Introduction à la distance d’un point à une droite A, B, C, D et E sont cinq points distincts alignés dans cet ordre sur une droite (d). M est un point n’appartenant pas à la droite (d), tel que (MC) est perpendiculaire à (d). Parmi les distances MA, MB, MC, MD et ME, quelle est la plus courte ? Le triangle MAC est un triangle rectangle en C. [MA] étant l’hypoténuse, on peut affirmer que : MC < MA. De…

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Cercle – Tangente – Cours – 4ème – Géométrie

Cercle – Tangente – 4ème – Cours – Géométrie Tangente à cercle en l’un de ses points Définition : A est un point du cercle (C ) de centre O. La tangente au cercle (C ) en A est la droite dont le seul point de contact avec (C ) est A.   Propriété (pour construire la tangente à un cercle en l’un de ses points) : A est un point du cercle (C ) de centre O. Si (d)…

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Bissectrices – 4ème – Cours – Géométrie

Bissectrice d’un angle La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles égaux. L’angle xAy = L’angle yAz donc (Ay) est la bissectrice de l’angle xAz Remarque : la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie pour cet angle. B et B’ sont symétriques par rapport à la bissectrice (Ay) Propriété : Si un point M appartient à la bissectrice d’un angle, alors M est à égale distance des côtés de cet angle. On…

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Triangle rectangle – Cercle circonscrit – 4ème – Cours – Géométrie

Cercle circonscrit à un triangle rectangle   Propriété 1 Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Propriété 1 bis Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Propriété 2 Si un triangle est rectangle alors l’hypoténuse a pour longueur le double de celle de la médiane issue du sommet de l’angle droit. ABC est un triangle rectangle en A donc: Le centre du…

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Réciproque de Pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie

Réciproque de pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie Définition de la réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle on a : BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle est rectangle en A (BC étant l’hypoténuse)   Exemple : Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est un triangle rectangle. On choisit : AC = 3, AB = 4 et BC = 5 BC est le côté le plus long….

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Propriété de Pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie

Propriété de pythagore – 4ème – Cours – Triangles rectangles – Géométrie Définition Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté. C’est aussi le côté opposé à l’angle droit.   Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. Dans le triangle ABC rectangle en A : BC2 = AB2 + AC2 Exemple   Soit RFA un triangle…

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Deux parallèles coupant deux sécantes – 4ème – Cours – Géométrie

Propriété Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés sont proportionnels.     Application   Dans un triangle ABC, M est un point du côté [AB] distinct de A et de B, N est un point du côté [AC] distinct de A et de C. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC) alors AM/AB = AN/AC = MN/BC   Remarque   Dans l’application précédente, l’égalité des rapports met en…

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Nombres Relatifs – 4ème – Cours

I – Addition et soustraction de nombres relatifs Définition : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on les additionne et on garde leurs signes communs. Exemple : Pour réaliser le calcul suivant. A= (-5) + (-9) A=-(5+9) à On additionne les deux nombres. A=-14 à On réalise le calcul.   Définition : Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait le plus petit au plus grand et on prend le signe du plus grand. Exemple :…

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Statistiques – 4ème – Cours

I. Moyennes arithmétiques : Définition : Pour calculer la moyenne M d’une série statistique : on additionne toutes les valeurs du caractère de la série ; on divise la somme obtenue par le nombre de valeurs de la série Si x1, x2, ….. , xp représentent les valeurs du caractère de la série, on a alors : M=. Exemple : Sophie a calculé le temps qu’elle a passé devant la télévision la semaine dernière. Voici ses résultats. Calcule le temps…

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Equation – Inéquation – 4ème – Cours

Equation – Inéquation – 4ème – Cours A. Equation 1. Définitions Définition : Une équation est une expression dans laquelle il y a toujours un signe égal et une ou plusieurs inconnues (désignées chacune par une lettre, en général). Définition : Résoudre une équation d’inconnue x, c’est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour que l’égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation. Exemple : est une équation. Dont 1 est solution car…

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Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle – 4ème – Cours – Trigonométrie

Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle – 4ème – Cours – Trigonométrie Définition du cosinus Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle (non droit) est calculé en divisant longueur du coté adjacent par celle de l’hypoténuse: Cosinus = coté adjacent .Le cosinus Hypoténuse d’un angle se note cos. Exemple: Exemple :   Remarque: Le cosinus d’un angle aigu ne possède pas d’unité et il est compris entre 0 et 1   Utilisation du cosinus pour calculer la…

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Proportionnalité – 4ème – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Proportionnalité – 4ème Pour réaliser une recette de crêpes, il faut 250 g de farine, trois oeufs et un demi-litre de lait. Combien faut-il d’oeufs et de lait pour 750 g de farine ? Combien faut-il de farine et de lait pour 12 oeufs? Ressources pédagogiques en libre téléchargement à imprimer et/ou modifier. Public ciblé : élèves de 4ème Collège – Domaines : Organisation et gestion des données Mathématiques Sujet : Voir les fichesTélécharger les documents Exercices – calculer une…

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Puissances – 4ème – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Puissances – 4ème Une légende affirme que le jeu d’échecs a été inventé par un savant indien, Sissa Ben Daher. Quand l’empereur Sheramapprit que l’inventeur était un de ses sujets, il le fitmander au palais. L’empereur – Sois remercié pour ce jeu qui égaie le soir dema vie. Quelle récompense souhaites-tu ? Sissa demeura silencieux. L’empereur – Eh bien, s’impatienta l’empereur, parle donc, insolent : craindrais-tu que je ne puisse exaucer ton désir ? Sissa fut blessé par le ton…

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Calcul littéral – Equations – 4ème – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Calcul littéral – Equations – 4ème Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue une valeur numérique, il faut procéder ainsi : – d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par leur(s) valeur(s) dans lemembre de gauche de l’égalité. – d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par leur(s) valeur(s) dans lemembre de droite de l’égalité. Si les deux résultats obtenus sont…

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Ecritures fractionnaires – 4ème – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Ecritures fractionnaires – 4ème Rappel : On ne change pas la valeur d’une fraction enmultipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par unmême nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) Ressources pédagogiques en libre téléchargement à imprimer et/ou modifier. Public ciblé : élèves de 4ème Collège – Domaines : Numération Mathématiques Sujet : Voir les fichesTélécharger les documents Transformer, simplifier l’écriture fractionnaire d’un nombre…

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Triangle – Milieux – Parallèles – 4ème – Géométrie – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Triangle – Milieux – Parallèles – 4ème Définition : Le carré d’un nombre positif est le produit de ce nombre par lui-même. Si c est un nombre positif, alors le carré de c se note c2, se prononce « c au carré », et est égal à c ×c. On utlise ce terme car, lorsque l’on veut calculer l’aire d’un carré, onmultiplie la longueur du côté de ce carré par lui-même. On a ainsi la formuleAcarré = c ×c = c2 Ressources…

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Théorème de Pythagore – 4ème – Géométrie – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Théorème de Pythagore – 4ème Définition : Le carré d’un nombre positif est le produit de ce nombre par lui-même. Si c est un nombre positif, alors le carré de c se note c2, se prononce « c au carré », et est égal à c ×c. On utlise ce terme car, lorsque l’on veut calculer l’aire d’un carré, onmultiplie la longueur du côté de ce carré par lui-même. On a ainsi la formuleAcarré = c ×c = c2 Ressources pédagogiques en…

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Triangle rectangle – Cercle circonscrit – 4ème – Géométrie – Cours – Exercices – Collège – Mathématiques

Triangle rectangle – Cercle circonscrit – 4ème Dans chacun des cas suivants, tracer lesmédiatrices des trois côtés du triangle, puis le cercle circonscrit au triangle ; qu’observez-vous quant à la position du cercle circonscrit ? Ressources pédagogiques en libre téléchargement à imprimer et/ou modifier. Public ciblé : élèves de 4ème Collège – Domaines : Géométrie Mathématiques Sujet : Voir les fichesTélécharger les documents Une activité sur le cercle circonscrit à un triangle – 4ème Une activité pour démontrer le résultat…

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Mathématiques : 4ème - Cours

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