Cours de Terminale sur le raisonnement par récurrence – Tle
Modes de génération d’une suite numérique
Par une formule explicite
- La suite u est définie de manière explicite lorsque chaque terme s’exprime directement en fonction de n.
Exemple :
Pour tout n ≥ 0, les suites u et v sont définies par les formules explicites suivantes :
Ces formules permettent de calculer directement un terme de rang quelconque. Par exemple, pour les deux suites, le terme de rang 4 est : .
Par une relation de récurrence
- La suite u est définie par une relation de récurrence lorsqu’on donne le premier (ou les premiers termes) et une relation permettant de connaître un terme en fonction du (ou des) terme(s) précédent(s). de manière explicite lorsque chaque terme s’exprime directement en fonction de n.
Exemple :
Soit la suite u définie sur par et pour tout n > 0, .
Pour obtenir la valeur du terme de rang 3, il faut calculer tous les termes précédents :
Principe de récurrence
désigne une propriété qui dépend d’un entier naturel n et désigne un entier naturel.
Pour démonter par récurrence que pour tout entier naturel est vraie, on procède en deux étapes :
- Initialisation : on vérifie que est vraie.
- Hérédité : on suppose qu’il existe un entier naturel k tel que est vraie, et on démontre que est vraie…
