Cours de tleS sur les nombres premiers et PGCD – Terminale
Nombres premier dans N
- Un entier naturel n est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même. les entiers 0 et 1 ne sont pas premiers.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
- Soit n ≥ 2 un entier naturel. n admet au moins un diviseur premier.
Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et
Si aucun des entiers compris entre 2 et ne divise n, alors n est premier.
- Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 est premier ou se décompose en un produit de nombres premiers : sont des nombres premiers distincts deux à deux et des entiers naturels non nuls. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
PGCD
- On appelle PGCD de a et b deux entiers naturels, le plus grand diviseur commun à a et b. on note a ˄ b
- Si a ˄ b = 1, alors a et b n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1. On dit que a et b sont premiers entre eux.
- Tout diviseur commun à a et b est un diviseur de leur PGCD.
Nombres premiers entre eux
- Soient a et b des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs à a et b, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les décompositions en produit de nombres premiers de a et b.
- Soit a un entier naturel non nul tel que a = bk + r où k est un entier.
Alors PGCD (a : b) = PGCD (a – bk : b) = PGCD (r : b).
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b, PGCD (a : b) = PGCD (b : r).
L’algorithme d’Euclide se fonde sur cette propriété.
- Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
- Soient a et b deux entiers naturels non nuls et d le PGCD de a et b.
Alors il existe deux entiers naturels non nul a‘ et b‘ premiers entre eux tels que a = da‘ et b = db‘.
