Théorème de Bézout – Théorème de Gauss – Terminale – Cours – PDF à imprimer

Cours de terminales S – Théorème de Bézout et théorème de Gauss – TleS – PGCD

Théorème de Bézout

• Deux entiers a et b sont premiers entre eux (a ˄ b) si, et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que :

 au + bv = 1.

Corollaire : Si d est le PGCD de deux entiers a et b, alors il existe des entiers u et v tels que :

     au + bv = d.

Théorème de Gauss

• Soient a, b et c des entiers

Si a divise le produit bc et si a est premier avec b (a ˄ b =1), alors a divise c.

Propriétés

• Si un entier est divisible par des entiers a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit ab.
• Si un entier premier divise un produit de facteurs ab, alors il divise au moins l’un des facteurs a ou b.
• Si un entier p premier divise un produit de nombres premiers, alors p est égal à l’un d’eux.
• p est un premier avec les entiers a et b si, et seulement si, p est premier avec leur produit.

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