Loi binomiale – Première L – ES – Cours

Cours de 1ère ES – L sur la loi binomiale

Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli une expérience à deux issues :

  • L’une, appelée succès, de probabilité P (0 < P < 1).
  • L’autre, appelée échec, de probabilité P – 1.

La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès, 0 en cas d’échec, suit la loi de Bernoulli de paramètre P.

Modèle de Bernoulli, loi binomiale

On appelle modèle ou schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (n entier naturel), de même paramètres de succès P.

La probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

La variable aléatoire X qui compte les succès suit la loi binomiale de paramètre (n, p).

Alors :

  • Les valeurs prises par X sont les entiers de 0 à n.
  • Pour tout k entier compris au sens large entre 0 et n:

Coefficients binomiaux, triangle de Pascal

Dans la représentation d’un schéma de Bernoulli à l’aide d’un arbre,  désigne le nombre chemins conduisant à k succès pour n répétitions.

Propriétés

  • Pour tout entier naturel n:
  • Pour tous entiers n et k tels que .
  • Formule de pascal :

Pour tous entiers n et k tels que

Triangle de Pascal

La formule de Pascal permet de construire les lignes successives du triangle de Pascal. A la  ligne, on trouve successivement :

Exemple :…

 



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