Systèmes d’équations – 3ème – Cours – Equations

Systèmes d’équations – 3ème – Cours – Equations

       I.            Équations

  • Rappels généraux

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les solutions.

Soit a, b et x des nombres relatifs où x est l’inconnue :

–          L’équation a + x = b ; a une seule solution : x = b – a.

–          L’équation ax = b a une seule solution : x =


Exemples : Résoudre les équations suivantes.

x + 2 = 4                                                                  8x = 16                                                          2x + 3 = 7

x = 4 – 2 = 2                                                           x = = 2                                                       2x = 7 – 3 ó 2x = 4 óx =  = 2
Vérifions : 2 + 2 = 4                                            Vérifions : 8×16                              Vérifions : 2×2 + 3 = 7

 

  • Rappel sur la résolution d’équations du type (ax + b)(cx + d) = 0

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

ð  Si a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0

ð  Si a = 0 ou b = 0, alors a × b = 0

Exemple : Résoudre les équations suivantes.

(x +7)(3x+8) = 0
Un produit et nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul
x + 7 = 0 si x = – 7
3x + 8 = 0 si x =
Cette équation admet donc deux solutions x1 = – 7 et x2 =

 

     II.            Systèmes de deux équations

  • Systèmes d’équations

–          Définition : Un système d’équations est un ensemble de plusieurs équations relatives à un même problème.

–          Intérêt : Un système d’équations permet de résoudre des problèmes dans lesquels il y a plusieurs nombres inconnus.

Exemple :

est un système d’équations. On cherche la valeur des nombres relatifs x et y.

 

Le programme de troisième, contient uniquement la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues.

 

  • Systèmes d’équations à deux inconnues

Soit un système d’équation de la forme                             avec a, b, c, d, e et f des nombres relatifs et x et y deux inconnues.

Il existe deux méthodes permettant de résoudre ce système d’équations :

Exemple : Soit le système d’équations suivant
–          Méthode 1 : Méthode dite de substitution

1)      Isoler l’une des deux inconnues dans l’une des deux équations.
Isolons x dans l’équation (1) :

2)      La remplacer dans l’autre équation.
Remplaçons x par 3 – 5y dans l’équation (2) :

3)      Résoudre l’équation à une inconnue.
Résolvons l’équation (2) :

4)      Réduire l’équation à deux inconnues, à une équation à une seule inconnue grâce à l’étape précédente.
Remplaçons y par – 1 dans l’équation (1) :

Le système a pour solution, le couple (x ; y) = (2 ; – 1).

 

–          Méthode 2 : Méthode dite de combinaisons linéaires

1)      Multiplier l’une des deux équations, de sorte d’avoir le même coefficient devant l’une des deux inconnues dans les deux équations.
Multiplions l’équation (1) par 2 :

2)      Soustraire les deux équations.
Soustrayons l’équation (1) à l’équation (2) :

3)      En déduire la valeur d’une inconnue.
Déduisons-en la valeur de y.

y = – 1

 

4)      Réduire l’équation à deux inconnues, à une équation à une seule inconnue grâce à l’étape précédente.
Remplaçons y par – 1 dans l’équation (1) :

Le système a pour solution, le couple (x ; y) = (2 ; – 1).

 



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Tables des matières Equation / inégalité - Calculs - Mathématiques : 3ème