Cours pour la 3ème sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.
Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore nous permet de savoir si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés.
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit, dans le triangle ABC : SI BC2 = AB2 + AC2
ALORS ABC est un triangle rectangle en A.
Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB = 18 cm, BC = 30 cm et AC = 24 cm.
→ question type : quelle la nature de ce triangle ?
Nous avons d’une part, BC^2 = 30^2 = 900
Et d’autre part, AC^2 + AB^2= 24^2 + 18^2 = 900
Or, S’il existe une égalité tel que BC2 = AC2 + AB2,
Alors l’égalité de Pythagore est respectée.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. [BC] est alors l’hypoténuse.
Contraposée du théorème de Pythagore
La contraposée, à l’inverse de la réciproque du théorème de Pythagore, nous permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle en connaissant les longueurs des trois côtés.
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
Autrement dit, dans le triangle ABC SI BC2 ≠ AB2 + AC2
tel que [BC] est le plus grand côté : ALORS ABC est n’est pas un triangle rectangle
Exemple : Soit EFG un triangle tel que EF = 18 cm, FG = 32 cm et EG = 24 cm.
→ question type : ce triangle est-il rectangle ?
Nous avons d’une part, FG^2 = 32^2 = 1024
Et d’autre part, EG^2 + EF^2= 24^2 + 18^2 = 900
Or, Si FG2 ≠ EG2 + EF2
Alors l’égalité de Pythagore n’est pas respectée.
Donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle EFG n’est pas un triangle rectangle.
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