Triangles – Cours – 5ème – Géométrie

Triangles – Cours – 5ème – Géométrie

Construction de triangles

  • Si on connaît la longueur des 3 côtés:
    Voici, la méthode à travers un exemple.
    Construire un triangle ABC tel que AB = 4 cm, BC = 2,5 cm et AC = 3,5 cm.
    1) On trace un segment [AB]  de 4 cm.

 

2) On trace deux arcs de cercle :
– un de centre A et de rayon 3,5 cm
– un de centre B et de rayon 2,5 cm.

  • Si on connaît la longueur d’un côté et la mesure de deux angles adjacents de ce côté:
    Voici, la méthode à travers un exemple.
    Construire un triangle ABC tel que AB = 4 cm, et
    1) On trace un segment [AB]  de 4 cm.
    2) On trace une demi-droite [AX) telle que , et la demi-droite [BY) telle que
  • Si on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces deux côtés:
    Voici, la méthode à travers un exemple.
    Construire un triangle EFG tel que EF = 4 cm, EG = 3 cm et
    1) On trace une demi-droite  [EX) telle que , puis on place G sur cette demi-            droite tel que EG = 3 cm.
    2) On trace le segment  [EF] de 4 cm.

  • Somme des angles d’un triangle :
    Propriétés : Dans un triangle, la somme des trois angles de ce triangle vaut 180°.

    Ex : angle (ABC) + angle (ACB) + angle (BAC) = 39,2 + 22,51 + 118,29 = 180°

Inégalité triangulaire

  • Propriété générale : Si A, B et C sont trois points quelconques alors .
  • Les différents cas : – Si on a,  AC < AB + BC : dans un triangle la                       somme des longueurs de deux côtés est                           supérieure à la longueur du troisième côté.
    Ainsi sur la figure, on a bien :
    AB < AC + BC ;
    BC < AB + AC
    et AC < AB + BC.
    -Sinon, on a  AC = BC + AB alors les points A, B et C sont alignés.
  • Propriétés :    – Si trois points A, B et C sont tels que AC = CB, alors le point B appartient au segment               [AC].
    – Si le point B appartient au segment [AC], alors AC = AB + BC.
  • Méthode : Pour savoir si on peut construire un triangle dont on connaît les trois longueurs, il suffit de s’assurer que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres côtés.

    Ex: – On peut construire un triangle de côté 4 cm, 3 cm et de 6 cm, car 6 < 4 + 3.
    – On ne peut pas construire le triangle de côté 2 cm, 3 cm et 6 cm, car 6 < 2 + 3                          n’existe pas .

Médiatrice et cercle circonscrit – Initiation au raisonnement déductif

  • Définition : La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu de ce segment, et qui est perpendiculaire à ce segment.
  • Propriétés : 1) Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des                extrémités de ce segment.
    2) Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point                            appartient à la médiatrice de ce segment.
  • Propriétés et définition:
    – Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point, on dit qu’elles sont concourantes.

    – Le point de concours (d’intersection) des médiatrices des trois côtés d’un triangle est le centre du cercle qui passe par les trois sommets triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit de ce triangle.

Définition d’une hauteur

  • Définition : Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
  • Propriété et définition : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point. On dit que ce point est l’orthocentre du triangle.

Définition d’une médiane

  • Définition : Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et par le milieu du côté opposé.

  • Propriété et définition : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point. On appelle ce point, le centre de gravité du triangle.



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Tables des matières Triangles - Géométrie - Mathématiques : 5ème