Théorème de monotonie – Stricte monotonie – Première ES – L – Cours

Cours de 1ère L – ES – Théorème de monotonie et de la stricte monotonie

Applications de la dérivation

Les théorèmes suivants précisent le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction sur un intervalle.

Théorèmes de monotonie:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

Si f’ est positive sur I, c’est-à-dire si : pour tout x de I,alors f est croissante sur I

Si f’ est négative sur I, c’est-à-dire si : pour tout x de I,alors f est décroissante sur I

Si f’ est nulle sur I, c’est-à-dire si : pour tout x de I,alors f est constante sur I.

Théorèmes de monotonie:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si pour tout x de I :alors f est strictement croissante sur I.

Si pour tout x de I :alors f est strictement décroissante sur I.

Plus généralement :

Si f’ est positive sur I et si f’ ne s’annule éventuellement qu’en un nombre fini de réels de I, alors f est strictement croissante sur I.

Si f’ est négative sur I et si f’ ne s’annule éventuellement qu’en un nombre fini de réels de I, alors f est strictement décroissante sur I.

Etudier les variations d’une fonction

Pour étudier les variations d’une fonction, on suit les étapes suivantes :

On détermine l’expression de

On étudie le signe de  selon les valeurs de x.

Selon le signe de, on donne les variations de f.

On résume souvent les variations dans un tableau en précisant les valeurs  des extremums.

 



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