Puissances – 4ème – Cours – Collège

Puissances – 4ème – Cours – Collège

I) Introduction aux puissances entières d’un nombre relatif

Que signifie 5² ?

3² = 3 x 3
 est le produit de 2 facteurs égaux à 3.
Que signifie (-4)6 ?

(-4)6 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4)
(-4)6 est le produit de 6 facteurs égaux à (-4).

 

Cas particuliers :  a1 = a et a0 = 1
an est une puissance de  a et se lit « a exposant n ».

 

II) Définition de puissances de dix

10×10 = 100
10x10x10 = 1000
10x10x10x10x10 = 10000
10x10x10x10x10x10 = 100000
10x10x10x10x10x10x10 = 1000000
10x10x10x10x10x10x10x10 = 10000000
10x10x10x10x10x10x10x10x10 = …
10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = …

Remarques
 : Si nous essayons d’écrire les résultats sous la forme « d’écriture décimale », les calculs deviennent longs et nous nous retrouvons face à un problème de place pour écrire. A partir d’un certain rang, la calculatrice nous donne le résultat sous la forme « d’écriture scientifique ».

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Nous notons pour plus de facilité dans les calculs :

10n = 10 x 10 x 10 x … x 10 x 10 = 1000…00
n facteurs                  n zéros
Cas particuliers : 101 = 10 et 100 = 1
Nous pouvons remarquer que :

10-4 = 0.0001 =  =
104 x 10-4 = 1
Cela se généralise quelle que soit la puissance de dix, quel que soit le nombre entier relatif  n.

III) Définition de l’écriture scientifique d’un nombre

Définition :

Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme suivante :     a x 10m.
Avec :

  • a est un nombre décimal tel que 1 =/< a < 10.
  • m est un nombre entier relatif.

Dans la pratique
Si nous utilisons la calculatrice pour effectuer : 259 325 x 159 485, nous remarquons que le résultat dépasse la capacité d’affichage de la calculatrice et celle-ci affiche une valeur approchée du résultat en notation scientifique :

4.1358447625 x 1010

Cela peut nous permettre de donner un ordre de grandeur en écrivant un encadrement du résultat :

Par exemple :
1010  <  259 325 x 159 485<  1011
Ou encore :
1010  <  259 325 x 159 485<  2 x 1011

Rappels sur les puissances de dix
Pour utiliser les notations scientifiques, il faut être capable d’utiliser les puissances de dix dans les calculs. Voici donc quelques propriétés qu’il faut connaître

Quels que soient les nombres relatifs n et m on a : 10n x 10m = 10n+m
Quels que soient les nombres relatifs p et q on a :  = 10p-q
Quels que soient les nombres relatifs a et b on a : (10a)b = 10axb

Cas particuliers : 101 = 10 et 100 = 1

 



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