Plans de l’espace – Caractérisation vectorielle – Terminale S – Cours

Cours de Tle S – Caractérisation vectorielle des plans de l’espace et leur représentation paramétrique

Caractérisation vectorielle des plans de l’espace

  • Un point A et deux vecteurs non colinéaires de l’espace définissent un plan unique : le plan (ABC) tel que  On dit alors que les vecteurs  sont des vecteurs directeurs du plan (ABC).
  • Le point M appartient au plan (ABC) si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que
  • Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que
  • Soient trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur s’écrit comme étant une combinaison linéaire de ces trois vecteurs : pour tout vecteurs il existe trois réels a, b et c tel que .
  • La caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation paramétrique de ce plan.

Représentation paramétrique d’un plan

L’espace est muni d’un repère .

  • Soient A un point de l’espace et deux vecteurs non colinéaires de l’espace. Le plan P passant par A et dirigé par les vecteurs est l’ensemble des points M tels que             avec k et k’ des réels.
  • Un point (x ; y ; z) appartient au plan P passant par le point et de vecteurs directeurs si, et seulement si, il existe des réels k et k‘ tels que :

Ce système est la représentation paramétrique du plan P.

 



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