Loi normale centrée réduite – Terminale S – Cours

TleS – Cours sur la loi normale centrée réduite – Terminale S

Définition

  • On appelle loi normale centrée réduite N (0, 1), la loi ayant pour fonction de densité la fonction f définie sur R par :
  • Sa courbe représentative est appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche ».

La fonction f étant paire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

L’aire totale sous la courbe en cloche sur l’intervalle  est égale à 1.

Propriétés

  • Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (0, 1). Par définition, X admet une espérance nulle et un écart-type égal à1.
  • Soient a et b deux nombres réels.

La probabilité de l’événement (X a) est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle

La probabilité de l’événement (aX b) est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle

On a donc

On utilise un tableur ou la calculatrice pour avoir des valeurs approchées de cette intégrale pour des valeurs fixées de a et b.

  • Pour tout réel appartenant à ] 0 ; 1[, il existe un unique réel positif tel que :

En particulier :

  • Pour
  • Pour

On retient que lorsque X qui la loi normale N (0, 1), on a :

Théorème de Moivre-Laplace

  • Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et pn est un entier naturel très grand et p un nombre appartenant à ] 0 ; 1 [.

On note  la variable aléatoire définie par : . Comme  a pour espérance np et pour écart-type ,  a pour espérance 0 et pour écart-type 1.

  • Théorème de Moivre-Laplace : pour tous réels a et b, la probabilité que appartienne à [a ; b] tend vers  lorsque n tend vers…

 



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