TleS – Cours sur la loi normale centrée réduite – Terminale
Définition
- On appelle loi normale centrée réduite N (0, 1), la loi ayant pour fonction de densité la fonction f définie sur R par :
- Sa courbe représentative est appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche ».
La fonction f étant paire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
L’aire totale sous la courbe en cloche sur l’intervalle est égale à 1.
Propriétés
- Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (0, 1). Par définition, X admet une espérance nulle et un écart-type égal à1.
- Soient a et b deux nombres réels.
La probabilité de l’événement (X ≤ a) est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle
La probabilité de l’événement (a ≤ X ≤ b) est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle
On a donc
On utilise un tableur ou la calculatrice pour avoir des valeurs approchées de cette intégrale pour des valeurs fixées de a et b.
- Pour tout réel appartenant à ] 0 ; 1[, il existe un unique réel positif tel que :
En particulier :
- Pour
- Pour
On retient que lorsque X qui la loi normale N (0, 1), on a :
Théorème de Moivre-Laplace
- Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p où n est un entier naturel très grand et p un nombre appartenant à ] 0 ; 1 [.
On note la variable aléatoire définie par : . Comme a pour espérance np et pour écart-type , a pour espérance 0 et pour écart-type 1.
- Théorème de Moivre-Laplace : pour tous réels a et b, la probabilité que appartienne à [a ; b] tend vers lorsque n tend vers…
