Loi à densité sur un intervalle – Terminale S – Cours

Tle S – Cours sur la loi à densité sur un intervalle – Terminale S

Variable aléatoire continue

  • On considère une expérience aléatoire. Si X est une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs, sa loi de probabilité est une fonction qui associe à toute valeur de k prise par X sa probabilité P(X = k).
  • Dans ce cours, on s’intéresse à des variables aléatoires X qui prennent leurs valeurs dans un intervalle ; on dit qu’elles sont continues. Comme il y a une infinité de nombres dans un intervalle, on imagine que la probabilité qu’une telle variable aléatoire X prenne une valeur fixée k est nulle. On cherche alors à calculer la probabilité que X prenne des valeurs dans un intervalle inclus dans l’intervalle de départ.

Définition d’une loi à densité

  • Soient a et b deux réels et f une fonction définie, continue et positive sur l’intervalle [a; b]. Si l’aire sous la courbe représentative de f sur [a ; b] est égale à 1, on dit que la fonction f est une densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b].
  • On a vu dans les chapitres précédents (intégration) que l’aire, exprimée en unité d’aire, sous la courbe d’une fonction f continue et positive sur [a; b] est l’intégrale :

En posant, pour tout x de [a ; b], , on définit une loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue sur [a ; b] ; la fonction f est la densité de probabilité de cette loi.

Espérance mathématique

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire  X  à densité sur [a ; b] est : …

 



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