Fractions – Quotients – 5ème – Cours
Multiples et diviseurs :
- Définition : Soient a et b deux nombres entiers positifs.
Si le reste de la division de a par b est égal à zéro, alors : – a est un multiple de b,
– b est un diviseur de a,
– a est divisible par b.
Ex : 18 est un multiple de 3, car 18 = 6 x 3
Ainsi, 3 est un diviseur de 18, ou 18 est divisible par 3.
Mais, 23 n’est pas un multiple de 3, car 23 = 7 x 3 + 2
- Critères de divisibilité :
Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :
• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
• Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4
• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Ex : Le nombre 2580
– est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 0.
– est divisible par 3, car 2 + 5 + 8 = 15 qui est un multiple de 3.
– est divisible par 4, car ses deux derniers chiffres forment le nombre 80, qui est multiple de 4.
– est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0.
– n’est pas divisible par 9, car 2 + 5 + 8 = 15 qui n’est pas un multiple de 9.
Fractions égales :
En effet, il existe différentes écritures fractionnaires pour un même nombre.
- Propriété : On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0), on a :
et
- Propriété : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
- Définition : Lorsque l’on ne peut plus simplifier la fraction, on dit que celle-ci est irréductible
Ex : qui est irréductible.
Exprimer une proportion :
On a partagé un rectangle en cinq parts égales.
On a colorié une part du rectangle, ce qui représente un cinquième du rectangle.
On a colorié deux parts du rectangle, ce qui représente deux cinquièmes du rectangle.
On a colorié cinq parts du rectangle, qui représente sa totalité.
On a colorié six parts du rectangle, ce qui représente six cinquième du rectangle.
- Vocabulaire :
– Quand on partage en deux parts égales, on obtient des demis,
– Quand on partage en trois parts égales, on obtient des tiers,
– Quand on partage en quatre parts égales, on obtient des quarts,
– Quand on partage en cinq, six, sept, .., dix,. . ., cent parts égales, on obtient des cinquièmes, sixièmes, septièmes,. . ., dixièmes,. . ., centièmes,. . ..
Diviser deux nombres décimaux :
- Méthode:
Pour diviser par un nombre décimal,
– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .
– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )
– on effectue la division obtenue.
Ex :
Comparer des fractions :
Comparer deux nombres c’est savoir lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux.
- Comparer deux fractions ayant le même dénominateur :
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors celui qui a le numérateur le plus grand, est le plus grand.
Ex : car 6 > 2.
- Comparer deux fractions ayant le même numérateur :
Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur, alors celui qui a le dénominateur le plus grand, est le plus petit.
Ex : car 4 < 8.
- Comparer deux fractions quelconques :
-Si, le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre, alors on réduit les deux fractions au même dénominateur. Puis on compare comme précédemment.Ex : et donc car 3 < 25.
-Sinon, il est parfois utile de comparer des nombres en écriture fractionnaire en effectuant les quotients, et en comparant leurs valeurs (exactes ou approchées).
Ex : et donc
- Pour savoir si une fraction est plus ou moins grande que 1, il suffit de comparer le dénominateur de la fraction et son dénominateur:
– Si le numérateur est plus grand que le dénominateur alors la fraction est supérieure à 1,
– Si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
Ex : et car 12 < 17.
