Application du produit scalaire – Terminale S – Cours

Cours de tleS sur les application du produit scalaire – Terminale S

Orthogonalité

Deux vecteurs  sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

On dit qu’un vecteur  est normal au plan P si, et seulement si, quels que soient les points M et N du plan P,  est orthogonal à.

Si le vecteur  est normal à P, tout vecteur colinéaire à  est aussi normal à P.

Pour que  soit normal au plan (ABC), il suffit qu’il soit orthogonal à  :

Deux plans P et P’ sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires. En pratique, il suffit qu’il existe deux vecteurs non nuls, l’un normal à P et l’autre normal à P’, et colinéaires entre eux.

Deux plans P et P’ sont perpendiculaires si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. En pratique, il suffit qu’il existe deux vecteurs non nuls, l’un normal à P, l’autre normal à P’, et orthogonaux entre eux.

Plans de l’espace

Soient A un point et  un vecteur non nul de l’espace.

L’ensemble des points M de l’espace tels que  est le plan passant par A et dont le vecteur  est le vecteur normal.

Tout plan de l’espace a une équation du type  ou a, b, c et d sont des réels.

De plus, le vecteur  est un vecteur normal au plan.

Réciproquement, si le vecteur  est normal à un plan P, alors celui-ci a une équation de forme

Projections orthogonales

D’un point sur un plan:

Soit A un point et P un plan ne contenant pas A. La droite perpendiculaire à P passant par A coupe P en H. H est la projection orthogonale de A sur P et par définition AH est la distance de A à P.

Quel que soit M de P, on a

D’un point sur une droite:

Soient A un point et D une droite ne contenant pas A. Le plan perpendiculaire à D contenant A coupe D en un point K.

K est le projeté orthogonal de A sur D.

Quel que soit M de D, on a :…

 



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